Lewati ke konten utama
Vanillate Science

Matematika · Kalkulus

Kalkulator Notasi Sigma & Deret

Hitung jumlah deret dengan notasi sigma: rumus tertutup yang dibuktikan dengan induksi, deret geometri, dan deret tak hingga.

Contoh soal dan pembahasan

Terverifikasi
∑k=1nk2\sum_{k=1}^{n} k^{2}

Jawaban

  • S(n)
    n33+n22+n6\frac{n^{3}}{3} + \frac{n^{2}}{2} + \frac{n}{6}
  • Bentuk faktor
    n(2n+1)(n+1)6\frac{n \left(2 n + 1\right) \left(n + 1\right)}{6}

Langkah penyelesaian — Rumus jumlah polinom (Faulhaber)

  1. Langkah 1:

    Kenali suku umum sebagai polinom

    f(k)=k2(derajat 2)f(k) = k^{2}\quad(\text{derajat } 2)
    Rumus Faulhaber∑k=1nkp adalah polinom berderajat p+1 dalam n\sum_{k=1}^{n} k^p \text{ adalah polinom berderajat } p+1 \text{ dalam } n

    Jumlah suku polinom berderajat 2 adalah polinom berderajat 3 dalam n.

  2. Langkah 2:

    Pisahkan dengan sifat linear sigma

    ∑k=1nk2=∑k=1nk2\sum_{k=1}^{n} k^{2} = \sum_{k=1}^{n} k^{2}
    Sifat linear notasi sigma∑(c ak+bk)=c∑ak+∑bk\sum (c\,a_k + b_k) = c\sum a_k + \sum b_k

    Konstanta dapat dikeluarkan dan jumlah dapat dipisah per suku.

  3. Langkah 3:

    Gunakan rumus jumlah pangkat standar

    ∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

    Rumus baku jumlah bilangan asli berpangkat.

  4. Langkah 4:

    Gabungkan dan sederhanakan

    S(n)=n33+n22+n6S(n) = \frac{n^{3}}{3} + \frac{n^{2}}{2} + \frac{n}{6}

    Substitusi rumus-rumus di atas lalu kumpulkan suku sejenis.

  5. Langkah 5:

    Buktikan rumus dengan induksi matematika

    S(1)=f(1),S(m)−S(m−1)=f(m)S(1) = f(1),\qquad S(m) - S(m-1) = f(m)
    Induksi matematikaP(a)∧(P(m−1)⇒P(m))  ⟹  ∀m≥a: P(m)P(a) \land \big(P(m-1) \Rightarrow P(m)\big) \implies \forall m \geq a:\ P(m)

    Kedua syarat diperiksa secara simbolik oleh mesin (lihat tab Verifikasi).

    Langkah terverifikasi:

Verifikasi: Terverifikasi. ✓ Basis induksi: S(1) = f(1). ✓ Langkah induksi: S(m) − S(m − 1) = f(m) untuk semua m. ✓ Bentuk faktor sama dengan bentuk polinom.

Tentang kalkulator ini

Format: sum(suku, k, batas_bawah, batas_atas). Untuk suku polinom dengan batas atas n, rumus tertutup ditentukan lalu dibuktikan dengan induksi matematika oleh mesin.

Deret geometri tak hingga dihitung bila |r| < 1; deret yang sukunya tidak menuju nol dinyatakan divergen.

Perhitungan dilakukan oleh mesin matematika deterministik di peramban Anda — tanpa AI generatif. Baca metodologi dan batasan.

Kalkulator terkait