Lewati ke konten utama
Vanillate Science

Matematika · Kalkulus

Kalkulator Titik Stasioner & Ekstrem

Cari titik kritis, maksimum dan minimum lokal fungsi dengan uji turunan pertama dan kedua.

Contoh soal dan pembahasan

Terverifikasi numerik
f(x)=x3−3xf(x) = x^{3} - 3 x

Jawaban

  • maksimum lokal
    (−1, 2)\left(-1,\ 2\right)

    ≈ (-1, 2)(dibulatkan)

  • minimum lokal
    (1, −2)\left(1,\ -2\right)

    ≈ (1, -2)(dibulatkan)

Langkah penyelesaian — Uji turunan pertama dan kedua

  1. Langkah 1:

    Turunan pertama

    f′(x)=3x2−3f'(x) = 3 x^{2} - 3

    Titik kritis terjadi saat f'(x) = 0 atau f' tidak terdefinisi.

    Rincian (1 sub-langkah)
    1. Langkah 1:

      Aturan jumlah

      ddx[x3]+ddx[−3x]=3x2−3\frac{d}{dx}\left[x^{3}\right] + \frac{d}{dx}\left[-3 x\right] = 3 x^{2} - 3
      Aturan jumlah/selisih(f±g)′=f′±g′(f \pm g)' = f' \pm g'

      Turunan dari jumlah adalah jumlah turunan masing-masing suku.

      Rincian (2 sub-langkah)
      1. Langkah 1:

        Aturan pangkat

        3x23 x^{2}
        Aturan pangkatddxxn=nxn−1\frac{d}{dx}x^{n} = n x^{n-1}

        Turunkan pangkat 3 menjadi koefisien dan kurangi pangkat dengan 1.

      2. Langkah 2:

        Aturan kelipatan konstanta

        −3⋅ddx[x]=−3-3 \cdot \frac{d}{dx}\left[x\right] = -3
        Aturan kelipatan konstanta(cf)′=cf′(c f)' = c f'

        Konstanta −3-3 dapat dikeluarkan dari turunan.

        Rincian (1 sub-langkah)
        1. Langkah 1:

          Turunan variabel

          11
          Turunan xddxx=1\frac{d}{dx}x = 1

          Turunan x terhadap dirinya sendiri adalah 1.

  2. Langkah 2:

    Selesaikan f'(x) = 0

    x=−1, x=1x = -1,\ x = 1

    Sifat akar kuadrat

    Rincian (4 sub-langkah)
    1. Langkah 1:

      Identifikasi koefisien

      a=3,b=0,c=−3a = 3,\quad b = 0,\quad c = -3

      Bandingkan dengan bentuk umum ax² + bx + c = 0.

    2. Langkah 2:

      Hitung diskriminan

      D=b2−4ac=36D = b^2 - 4ac = 36
      DiskriminanD=b2−4acD = b^2 - 4ac

      D > 0: ada dua akar real berbeda.

    3. Langkah 3:

      Isolasi x²

      x2=1x^{2} = 1

      Tidak ada suku x sehingga x² dapat langsung diisolasi.

    4. Langkah 4:

      Tarik akar kuadrat kedua ruas

      x=±1x = \pm 1
      Sifat akar kuadratx2=c  ⟺  x=±cx^2 = c \iff x = \pm\sqrt{c}

      Kuadrat bernilai c dicapai oleh ±√c.

  3. Langkah 3:

    Turunan kedua

    f′′(x)=6xf''(x) = 6 x
    Uji turunan keduaf′′(c)>0⇒minimum lokal, f′′(c)<0⇒maksimum lokalf''(c) > 0 \Rightarrow \text{minimum lokal},\ f''(c) < 0 \Rightarrow \text{maksimum lokal}

    Tanda turunan kedua menentukan jenis titik kritis.

Verifikasi: Terverifikasi secara numerik (dengan toleransi). ✓ Bandingkan f(-1) dengan nilai di sekitarnya. ✓ Bandingkan f(1) dengan nilai di sekitarnya.

Tentang kalkulator ini

Titik kritis diperoleh dari f′(x) = 0; jenisnya ditentukan dengan uji turunan kedua (atau uji turunan pertama bila f″ = 0).

Perhitungan dilakukan oleh mesin matematika deterministik di peramban Anda — tanpa AI generatif. Baca metodologi dan batasan.

Kalkulator terkait