Lewati ke konten utama
Vanillate Science

Matematika · Kalkulus

Kalkulator Integral

Hitung integral tak tentu dengan substitusi, integral parsial, dan pecahan parsial — setiap antiturunan diverifikasi dengan menurunkannya kembali.

Contoh soal dan pembahasan

Terverifikasi
∫x2sin⁡(x) dx\int x^{2} \sin\left(x\right) \, dx

Jawaban

  • Antiturunan
    −x2cos⁡(x)+2xsin⁡(x)+2cos⁡(x)+C-x^{2} \cos\left(x\right) + 2 x \sin\left(x\right) + 2 \cos\left(x\right) + C

Langkah penyelesaian — Integral parsial

  1. Langkah 1:

    Integral parsial

    −x2cos⁡(x)+2xsin⁡(x)+2cos⁡(x)-x^{2} \cos\left(x\right) + 2 x \sin\left(x\right) + 2 \cos\left(x\right)
    Integral parsial∫u dv=uv−∫v du\int u\,dv = uv - \int v\,du

    Pilih u = x2x^{2} (urutan LIATE: Logaritma, Invers trigonometri, Aljabar, Trigonometri, Eksponensial) dan dv = sin⁡(x) dx\sin\left(x\right)\,dx.

    Rincian (4 sub-langkah)
    1. Langkah 1:

      Tentukan u, du, dv, v

      u=x2, du=2x dx,dv=sin⁡(x) dx, v=−cos⁡(x)u = x^{2},\ du = 2 x\,dx,\quad dv = \sin\left(x\right)\,dx,\ v = -\cos\left(x\right)

      u diturunkan, dv diintegralkan.

    2. Langkah 2:

      Integral sinus

      −cos⁡(x)-\cos\left(x\right)
      Integral sinus∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C\int \sin x\,dx = -\cos x + C

      Rumus dasar tabel integral.

    3. Langkah 3:

      Terapkan rumus integral parsial

      −x2cos⁡(x)−∫−2xcos⁡(x) dx-x^{2} \cos\left(x\right) - \int -2 x \cos\left(x\right) \, dx

      uv − ∫v du.

    4. Langkah 4:

      Keluarkan konstanta

      −2∫xcos⁡(x) dx=−2xsin⁡(x)−2cos⁡(x)-2 \int x \cos\left(x\right) \, dx = -2 x \sin\left(x\right) - 2 \cos\left(x\right)
      Kelipatan konstanta∫cf dx=c∫f dx\int c f\,dx = c\int f\,dx

      Konstanta −2-2 dapat dikeluarkan dari integral.

      Rincian (1 sub-langkah)
      1. Langkah 1:

        Integral parsial

        xsin⁡(x)+cos⁡(x)x \sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)
        Integral parsial∫u dv=uv−∫v du\int u\,dv = uv - \int v\,du

        Pilih u = xx (urutan LIATE: Logaritma, Invers trigonometri, Aljabar, Trigonometri, Eksponensial) dan dv = cos⁡(x) dx\cos\left(x\right)\,dx.

        Rincian (4 sub-langkah)
        1. Langkah 1:

          Tentukan u, du, dv, v

          u=x, du=1 dx,dv=cos⁡(x) dx, v=sin⁡(x)u = x,\ du = 1\,dx,\quad dv = \cos\left(x\right)\,dx,\ v = \sin\left(x\right)

          u diturunkan, dv diintegralkan.

        2. Langkah 2:

          Integral kosinus

          sin⁡(x)\sin\left(x\right)
          Integral kosinus∫cos⁡x dx=sin⁡x+C\int \cos x\,dx = \sin x + C

          Rumus dasar tabel integral.

        3. Langkah 3:

          Terapkan rumus integral parsial

          xsin⁡(x)−∫sin⁡(x) dxx \sin\left(x\right) - \int \sin\left(x\right) \, dx

          uv − ∫v du.

        4. Langkah 4:

          Integral sinus

          −cos⁡(x)-\cos\left(x\right)
          Integral sinus∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C\int \sin x\,dx = -\cos x + C

          Rumus dasar tabel integral.

  2. Langkah 2:

    Tambahkan konstanta integrasi

    −x2cos⁡(x)+2xsin⁡(x)+2cos⁡(x)+C-x^{2} \cos\left(x\right) + 2 x \sin\left(x\right) + 2 \cos\left(x\right) + C
    Konstanta integrasi∫f(x) dx=F(x)+C\int f(x)\,dx = F(x) + C

    Antiturunan hanya unik sampai konstanta penjumlahan.

Verifikasi: Terverifikasi. ✓ Turunkan kembali hasil integral dan bandingkan dengan integran.

Tentang kalkulator ini

Mesin mencoba tabel integral dasar, linearitas, substitusi, integral parsial, dan pecahan parsial. Antiturunan yang ditemukan selalu diperiksa dengan menurunkannya kembali.

Jika tidak ada metode simbolik yang berhasil, kalkulator mengatakannya secara jujur — tidak menebak.

Perhitungan dilakukan oleh mesin matematika deterministik di peramban Anda — tanpa AI generatif. Baca metodologi dan batasan.

Pertanyaan umum

Mengapa ada + C?

Antiturunan tidak tunggal: jika F′ = f, maka F + C juga antiturunan f untuk konstanta C sembarang.

Kalkulator terkait